Vectores y combinaciones lineales

Qué es un vector

Imagina una hoja con dos ejes que se cruzan en ángulo recto: uno horizontal, el eje $x$ , y otro vertical, el eje $y$ . El punto donde se cruzan se llama origen. Esto es el plano cartesiano: cualquier punto de la hoja queda descrito por dos números, cuánto hay que moverse en horizontal y cuánto en vertical desde el origen.

Un vector del plano es una flecha que sale del origen y termina en un punto. Lo describimos con los dos números de ese punto, que llamamos sus componentes (o coordenadas). Se escriben en columna, uno encima del otro:

\mathbf{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix}

Aquí $\mathbf{u}$ (en negrita) es el nombre del vector, $u_1$ es su componente horizontal (cuánto avanza en $x$ ) y $u_2$ su componente vertical (cuánto avanza en $y$ ). Por ejemplo, $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ es la flecha que va del origen al punto que está 1 unidad a la derecha y 2 hacia arriba. Un número negativo indica el sentido contrario: hacia la izquierda en $x$ o hacia abajo en $y$ .

Para ahorrar espacio, dentro de una frase también escribiremos $\mathbf{u} = (1,\, 2)$ : es lo mismo, puesto en horizontal. Las apps escriben (1; 2), con punto y coma, para que no se confunda con la coma de los decimales.

Un vector tiene dos cualidades que se ven en el dibujo: su longitud (o módulo), que es lo que mide la flecha, y su dirección y sentido, hacia dónde apunta. La longitud se calcula con el teorema de Pitágoras, porque la flecha es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden lo que valen las componentes, sin el signo (al elevar al cuadrado el signo desaparece):

\lVert \mathbf{u} \rVert = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}

El símbolo $\lVert \mathbf{u} \rVert$ se lee «módulo de $\mathbf{u}$ ». Para $\mathbf{u} = (1,\, 2)$ vale $\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ .

Hay un vector especial: el vector nulo $\mathbf{0} = (0,\, 0)$ . Es una «flecha» de longitud cero que no apunta a ningún sitio; en los dibujos lo veremos como un punto en el origen.

Multiplicar un vector por un número

En álgebra lineal a los números sueltos se les llama escalares, porque su efecto es cambiar la escala de los vectores. Multiplicar un vector por un escalar $a$ consiste en multiplicar cada componente por $a$ :

a\,\mathbf{u} = a \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\,u_1 \\ a\,u_2 \end{pmatrix}

Qué ocurre en el dibujo depende del valor de $a$ :

Si $a > 1$ , la flecha se alarga sin cambiar de dirección ni de sentido. Con $a = 2$ mide el doble.
Si $a = 1$ , el vector no cambia.
Si $0 < a < 1$ , la flecha se encoge. Con $a = 0{,}5$ mide la mitad.
Si $a = 0$ , queda el vector nulo.
Si $a$ es negativo, la flecha se da la vuelta: apunta en sentido contrario. Con $a = -1$ obtenemos el vector opuesto, $-\mathbf{u}$ .

En todos los casos (si $\mathbf{u}$ no es el vector nulo) la nueva flecha queda sobre la misma recta que pasa por el origen y por $\mathbf{u}$ . Es decir: multiplicar por un escalar nunca saca al vector de su recta. Esta idea volverá con fuerza en el apartado de autovectores.

Sumar vectores

Para sumar dos vectores se suman sus componentes una a una, la horizontal con la horizontal y la vertical con la vertical:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix}

En el dibujo esto equivale a poner las flechas una a continuación de la otra: se dibuja $\mathbf{u}$ desde el origen y, desde su punta, se dibuja $\mathbf{v}$ . La suma es la flecha que va del origen hasta donde has llegado. Tiene sentido: primero avanzas lo que dice $\mathbf{u}$ y luego lo que dice $\mathbf{v}$ , así que en total avanzas $u_1 + v_1$ en horizontal y $u_2 + v_2$ en vertical.

Da igual el orden ( $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$ ): los dos caminos son los lados de un paralelogramo (un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos) y la suma es su diagonal. Por eso a esta forma de sumar se la llama regla del paralelogramo.

Combinaciones lineales

Ahora juntamos las dos operaciones. Una combinación lineal de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es lo que se obtiene al estirar (o encoger, o dar la vuelta) cada uno con su propio escalar y sumar después:

\mathbf{w} = a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a\,u_1 + b\,v_1 \\ a\,u_2 + b\,v_2 \end{pmatrix}

Los números $a$ y $b$ se llaman coeficientes de la combinación. Piensa en $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ como dos direcciones de marcha y en $a$ y $b$ como cuánto caminas en cada una. La pregunta central es: ¿a qué puntos del plano puedes llegar eligiendo bien $a$ y $b$ ?

En la app de abajo, mueve los deslizadores $a$ y $b$ y arrastra las puntas de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ . Las flechas discontinuas muestran las dos piezas, $a\,\mathbf{u}$ y $b\,\mathbf{v}$ , puestas una a continuación de la otra. La flecha violeta es el resultado.

App interactiva Combinación lineal de dos vectores

Prueba a llegar al punto (−1; 5) moviendo solo a y b. Después pulsa «Alinear u y v» y comprueba que ya no puedes salir de una recta. En las apps las coordenadas se separan con punto y coma, (x; y), porque la coma se reserva para los decimales.

Lo que generan dos vectores

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ (con todos los $a$ y $b$ posibles) se le llama conjunto generado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ . Solo hay tres posibilidades:

Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ no están alineados (no están sobre una misma recta que pase por el origen), generan todo el plano: a cualquier punto se llega con una única pareja $(a,\, b)$ . Lo comprobarás en el segundo ejercicio resuelto: buscar $a$ y $b$ lleva a un sistema de dos ecuaciones que, si los vectores no están alineados, tiene siempre una única solución. En la app, el botón «Ver combinaciones con a y b enteros» dibuja los puntos que se alcanzan con $a$ y $b$ enteros: forman una rejilla inclinada que cubre todo el plano, y los demás puntos se alcanzan con valores intermedios.
Si están alineados pero no son los dos nulos (uno es múltiplo del otro: $\mathbf{v} = k\,\mathbf{u}$ o $\mathbf{u} = k\,\mathbf{v}$ para algún número $k$ ), toda combinación cae en la misma recta. Por ejemplo, si $\mathbf{v} = k\,\mathbf{u}$ : $a\,\mathbf{u} + b\,k\,\mathbf{u} = (a + bk)\,\mathbf{u}$ , que es un múltiplo de $\mathbf{u}$ . Estos vectores solo generan una recta.
Si los dos son nulos, solo generan el origen.

Una pareja de vectores independientes del plano se llama base: con ella se llega a cualquier punto, y de una única manera. Hay una base especialmente cómoda, la base canónica:

\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Son flechas de longitud 1 sobre los ejes $x$ e $y$ . Con ellas, los coeficientes de cualquier vector son directamente sus componentes:

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2

Dicho de otro modo: las componentes de un vector son los coeficientes que lo forman a partir de $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ . Esta igualdad será la llave del siguiente apartado.

Ejercicios resueltos

Ejercicio resuelto

Calcular una combinación lineal

Con $\mathbf{u} = (1,\, 2)$ y $\mathbf{v} = (3,\, -1)$ , calcula $\mathbf{w} = 2\,\mathbf{u} - 3\,\mathbf{v}$ .

Multiplicamos cada vector por su coeficiente

Multiplicamos cada componente por el escalar que le toca:

2\,\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad 3\,\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 \\ 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \end{pmatrix}

Restamos componente a componente

\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 9 \\ 4 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 7 \end{pmatrix}

Cuidado con el signo: restar $-3$ es lo mismo que sumar $3$ .

Comprobamos con la app

En la app de arriba, pulsa «Reiniciar» para recuperar los vectores iniciales y pon $a = 2$ y $b = -3$ . La flecha violeta apunta hacia el punto $(-7,\, 7)$ , que queda fuera del dibujo: la app lo avisa y el panel muestra a·u + b·v = (−7; 7).

Solución

$\mathbf{w} = 2\,\mathbf{u} - 3\,\mathbf{v} = (-7,\, 7)$ .

Ejercicio resuelto

Encontrar los coeficientes

Escribe $\mathbf{w} = (4,\, 1)$ como combinación lineal de $\mathbf{u} = (1,\, 1)$ y $\mathbf{v} = (1,\, -1)$ . Es decir, encuentra los números $a$ y $b$ que cumplen $a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v} = \mathbf{w}$ .

Planteamos la igualdad componente a componente

a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b \\ a - b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}

Dos vectores son iguales cuando lo son sus componentes, así que obtenemos dos ecuaciones (un sistema de ecuaciones):

\begin{cases} a + b = 4 \\ a - b = 1 \end{cases}

Resolvemos el sistema

Si sumamos las dos ecuaciones, $b$ desaparece: $(a + b) + (a - b) = 4 + 1$ , es decir, $2a = 5$ , así que $a = \tfrac{5}{2}$ .

Sustituimos en la primera: $\tfrac{5}{2} + b = 4$ , luego $b = 4 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{3}{2}$ .

Comprobamos el resultado

\tfrac{5}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \tfrac{3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{5}{2} + \tfrac{3}{2} \\[2pt] \tfrac{5}{2} - \tfrac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \;\checkmark

Ha salido una única solución porque $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ no están alineados: generan todo el plano, así que a $\mathbf{w}$ se llega de una sola manera.

Solución

$a = \tfrac{5}{2} = 2{,}5$ y $b = \tfrac{3}{2} = 1{,}5$ , es decir, $\mathbf{w} = \tfrac{5}{2}\,\mathbf{u} + \tfrac{3}{2}\,\mathbf{v}$ .

Ejercicio resuelto

Vectores alineados

¿Se puede escribir $\mathbf{w} = (1,\, 0)$ como combinación lineal de $\mathbf{u} = (1,\, 2)$ y $\mathbf{v} = (-2,\, -4)$ ?

Miramos si u y v están alineados

Fíjate en que $\mathbf{v} = -2\,\mathbf{u}$ , porque $-2 \cdot 1 = -2$ y $-2 \cdot 2 = -4$ . Los dos vectores están alineados: son linealmente dependientes.

Vemos qué generan

Cualquier combinación es un múltiplo de $\mathbf{u}$ :

a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v} = a\,\mathbf{u} - 2b\,\mathbf{u} = (a - 2b)\,\mathbf{u}

Así que solo llegamos a los puntos de la recta que pasa por el origen y por $(1,\, 2)$ . En esa recta la segunda componente es siempre el doble de la primera.

Comprobamos si w está en esa recta

En $\mathbf{w} = (1,\, 0)$ la segunda componente (0) no es el doble de la primera (1). Por tanto, $\mathbf{w}$ no está en la recta y no se puede alcanzar.

Solución

No. Como $\mathbf{v} = -2\,\mathbf{u}$ , los dos vectores solo generan la recta formada por los múltiplos de $(1,\, 2)$ , y $(1,\, 0)$ no está en ella.

Vídeo del apartado

Vídeo ¿Qué es un vector? (canal Es Ciencia)

Resumen

Un vector del plano es una pareja de números $(u_1,\, u_2)$ y se dibuja como una flecha desde el origen.
Multiplicar por un escalar estira, encoge o invierte la flecha, pero la deja siempre en su misma recta.
Sumar vectores es poner las flechas una a continuación de la otra; en números, sumar componente a componente.
Una combinación lineal es $a\,\mathbf{u} + b\,\mathbf{v}$ . Dos vectores no alineados generan todo el plano; dos alineados, solo una recta.
Las componentes de un vector son sus coeficientes respecto a la base canónica: $(x,\, y) = x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2$ .